PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES

Aqui tienes algunos problemas de planteo sobre ecuaciones con sus respectivas soluciones. Queda a tu cargo el procedimiento de resolución...

1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?
2) ¿Qué número se debe restar a p+2 para obtener 5?
3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?
4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.
6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?
7) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.
8) Guido tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?
9)Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.
10) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?


RESPUESTAS
1) 5
2) P = – 3
3) 17
4) 25, 27 Y 29
5) 20
6) 51 Y 52
7) Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años
8) Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años
9) 14 y 38 años
10) Hace 10 años

Ecuación cuadrática

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinomial donde el mayor exponente es igual a dos.
Esta ecuación admite tres posibles casos en la solución: dos soluciones reales y diferentes; una sola raíz real de multiplicidad dos, o bien dos soluciones complejas conjugadas, de acuerdo a que su discriminante:

• sea positivo
• cero
• o cero respectivamente.

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO?

Información interesante
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.
D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa.
Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para "pasar" un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando "pasa" restando y si esta restando "pasa" sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b-Si está multiplicando "pasa" dividiendo y si está dividiendo "pasa" multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.
Como habras poddido observar, la palabra pasa esta entre comillas, ya que no pasamos el número o la variable, sino que realizamos dos operaciones a cada lado de la igualdad..
Por ejemplo:
Para resolver la ecuación 2x+5=15
Para encontrar el valor de x, primero debemos sumar -5 a cada lado de la igualdad, por lo que nos queda 2x+5-5=15-5. Al restar tenemos que 2x=10. Luego, para saber cual es el valor de x debemos multiplicar a ambos lados de la igualdad por 1/2. Por lo que: 1/2.2x=10.2x.
Al realizar la operación resulta que x=5

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x + z = 8 tiene tres incógnitas.
Las ecuaciones con una incognita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Por el grado de la incógnita.
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2).

c) Por el número de términos
c1) Ecuaciones binómicas:
Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
c2) Ecuaciones polinómicas:
Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

ALGUNAS CONCEPSIONES QUE HAY QUE SABER...

Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x + 3x.
Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x, 3x son los términos de la expresión algebraica 5x + 3x.
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x, son los factores del término 5x de la expresión algebráica 5x + 3x .
Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 1 es el coeficiente de x. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3xyz es 3. El grado de una constante es cero.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x + 5x + x = 8x es una identidad y 2x + 3x = 5 es una ecuación.